The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__natsFrom(N) → cons(mark(N), natsFrom(s(N)))
a__fst(pair(XS, YS)) → mark(XS)
a__snd(pair(XS, YS)) → mark(YS)
a__splitAt(0, XS) → pair(nil, mark(XS))
a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) → a__u(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), N, X, XS)
a__u(pair(YS, ZS), N, X, XS) → pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS))
a__head(cons(N, XS)) → mark(N)
a__tail(cons(N, XS)) → mark(XS)
a__sel(N, XS) → a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS)))
a__take(N, XS) → a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
a__afterNth(N, XS) → a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
mark(natsFrom(X)) → a__natsFrom(mark(X))
mark(fst(X)) → a__fst(mark(X))
mark(snd(X)) → a__snd(mark(X))
mark(splitAt(X1, X2)) → a__splitAt(mark(X1), mark(X2))
mark(u(X1, X2, X3, X4)) → a__u(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(afterNth(X1, X2)) → a__afterNth(mark(X1), mark(X2))
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
mark(0) → 0
mark(nil) → nil
a__natsFrom(X) → natsFrom(X)
a__fst(X) → fst(X)
a__snd(X) → snd(X)
a__splitAt(X1, X2) → splitAt(X1, X2)
a__u(X1, X2, X3, X4) → u(X1, X2, X3, X4)
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__afterNth(X1, X2) → afterNth(X1, X2)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2ⁿ):
The rewrite sequence
mark(natsFrom(X)) →⁺ cons(mark(mark(X)), natsFrom(s(mark(X))))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [X / natsFrom(X)].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
mark(natsFrom(X)) →⁺ cons(mark(mark(X)), natsFrom(s(mark(X))))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1,0,0].
The pumping substitution is [X / natsFrom(X)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__natsFrom(N) → cons(mark(N), natsFrom(s(N)))
a__fst(pair(XS, YS)) → mark(XS)
a__snd(pair(XS, YS)) → mark(YS)
a__splitAt(0', XS) → pair(nil, mark(XS))
a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) → a__u(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), N, X, XS)
a__u(pair(YS, ZS), N, X, XS) → pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS))
a__head(cons(N, XS)) → mark(N)
a__tail(cons(N, XS)) → mark(XS)
a__sel(N, XS) → a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS)))
a__take(N, XS) → a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
a__afterNth(N, XS) → a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
mark(natsFrom(X)) → a__natsFrom(mark(X))
mark(fst(X)) → a__fst(mark(X))
mark(snd(X)) → a__snd(mark(X))
mark(splitAt(X1, X2)) → a__splitAt(mark(X1), mark(X2))
mark(u(X1, X2, X3, X4)) → a__u(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(afterNth(X1, X2)) → a__afterNth(mark(X1), mark(X2))
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
mark(0') → 0'
mark(nil) → nil
a__natsFrom(X) → natsFrom(X)
a__fst(X) → fst(X)
a__snd(X) → snd(X)
a__splitAt(X1, X2) → splitAt(X1, X2)
a__u(X1, X2, X3, X4) → u(X1, X2, X3, X4)
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__afterNth(X1, X2) → afterNth(X1, X2)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) SlicingProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Sliced the following arguments:
a__u/1
a__u/3
u/1
u/3

(6) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__natsFrom(N) → cons(mark(N), natsFrom(s(N)))
a__fst(pair(XS, YS)) → mark(XS)
a__snd(pair(XS, YS)) → mark(YS)
a__splitAt(0', XS) → pair(nil, mark(XS))
a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) → a__u(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X)
a__u(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS))
a__head(cons(N, XS)) → mark(N)
a__tail(cons(N, XS)) → mark(XS)
a__sel(N, XS) → a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS)))
a__take(N, XS) → a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
a__afterNth(N, XS) → a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
mark(natsFrom(X)) → a__natsFrom(mark(X))
mark(fst(X)) → a__fst(mark(X))
mark(snd(X)) → a__snd(mark(X))
mark(splitAt(X1, X2)) → a__splitAt(mark(X1), mark(X2))
mark(u(X1, X3)) → a__u(mark(X1), X3)
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(afterNth(X1, X2)) → a__afterNth(mark(X1), mark(X2))
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
mark(0') → 0'
mark(nil) → nil
a__natsFrom(X) → natsFrom(X)
a__fst(X) → fst(X)
a__snd(X) → snd(X)
a__splitAt(X1, X2) → splitAt(X1, X2)
a__u(X1, X3) → u(X1, X3)
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__afterNth(X1, X2) → afterNth(X1, X2)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
a__natsFrom(N) → cons(mark(N), natsFrom(s(N)))
a__fst(pair(XS, YS)) → mark(XS)
a__snd(pair(XS, YS)) → mark(YS)
a__splitAt(0', XS) → pair(nil, mark(XS))
a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) → a__u(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X)
a__u(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS))
a__head(cons(N, XS)) → mark(N)
a__tail(cons(N, XS)) → mark(XS)
a__sel(N, XS) → a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS)))
a__take(N, XS) → a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
a__afterNth(N, XS) → a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
mark(natsFrom(X)) → a__natsFrom(mark(X))
mark(fst(X)) → a__fst(mark(X))
mark(snd(X)) → a__snd(mark(X))
mark(splitAt(X1, X2)) → a__splitAt(mark(X1), mark(X2))
mark(u(X1, X3)) → a__u(mark(X1), X3)
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(afterNth(X1, X2)) → a__afterNth(mark(X1), mark(X2))
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
mark(0') → 0'
mark(nil) → nil
a__natsFrom(X) → natsFrom(X)
a__fst(X) → fst(X)
a__snd(X) → snd(X)
a__splitAt(X1, X2) → splitAt(X1, X2)
a__u(X1, X3) → u(X1, X3)
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__afterNth(X1, X2) → afterNth(X1, X2)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
cons :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
mark :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
s :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
pair :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
0' :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
nil :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
hole_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take1_0 :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0 :: Nat → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__natsFrom, mark, a__fst, a__snd, a__splitAt, a__u, a__head, a__tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__natsFrom = mark
a__natsFrom = a__fst
a__natsFrom = a__snd
a__natsFrom = a__splitAt
a__natsFrom = a__u
a__natsFrom = a__head
a__natsFrom = a__tail
mark = a__fst
mark = a__snd
mark = a__splitAt
mark = a__u
mark = a__head
mark = a__tail
a__fst = a__snd
a__fst = a__splitAt
a__fst = a__u
a__fst = a__head
a__fst = a__tail
a__snd = a__splitAt
a__snd = a__u
a__snd = a__head
a__snd = a__tail
a__splitAt = a__u
a__splitAt = a__head
a__splitAt = a__tail
a__u = a__head
a__u = a__tail
a__head = a__tail

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
a__natsFrom(N) → cons(mark(N), natsFrom(s(N)))
a__fst(pair(XS, YS)) → mark(XS)
a__snd(pair(XS, YS)) → mark(YS)
a__splitAt(0', XS) → pair(nil, mark(XS))
a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) → a__u(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X)
a__u(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS))
a__head(cons(N, XS)) → mark(N)
a__tail(cons(N, XS)) → mark(XS)
a__sel(N, XS) → a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS)))
a__take(N, XS) → a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
a__afterNth(N, XS) → a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
mark(natsFrom(X)) → a__natsFrom(mark(X))
mark(fst(X)) → a__fst(mark(X))
mark(snd(X)) → a__snd(mark(X))
mark(splitAt(X1, X2)) → a__splitAt(mark(X1), mark(X2))
mark(u(X1, X3)) → a__u(mark(X1), X3)
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(afterNth(X1, X2)) → a__afterNth(mark(X1), mark(X2))
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
mark(0') → 0'
mark(nil) → nil
a__natsFrom(X) → natsFrom(X)
a__fst(X) → fst(X)
a__snd(X) → snd(X)
a__splitAt(X1, X2) → splitAt(X1, X2)
a__u(X1, X3) → u(X1, X3)
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__afterNth(X1, X2) → afterNth(X1, X2)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
cons :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
mark :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
s :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
pair :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
0' :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
nil :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
hole_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take1_0 :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0 :: Nat → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take

Generator Equations:
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(0) ⇔ 0'
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__natsFrom, a__fst, a__snd, a__splitAt, a__u, a__head, a__tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__natsFrom = mark
a__natsFrom = a__fst
a__natsFrom = a__snd
a__natsFrom = a__splitAt
a__natsFrom = a__u
a__natsFrom = a__head
a__natsFrom = a__tail
mark = a__fst
mark = a__snd
mark = a__splitAt
mark = a__u
mark = a__head
mark = a__tail
a__fst = a__snd
a__fst = a__splitAt
a__fst = a__u
a__fst = a__head
a__fst = a__tail
a__snd = a__splitAt
a__snd = a__u
a__snd = a__head
a__snd = a__tail
a__splitAt = a__u
a__splitAt = a__head
a__splitAt = a__tail
a__u = a__head
a__u = a__tail
a__head = a__tail

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol mark.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
a__natsFrom(N) → cons(mark(N), natsFrom(s(N)))
a__fst(pair(XS, YS)) → mark(XS)
a__snd(pair(XS, YS)) → mark(YS)
a__splitAt(0', XS) → pair(nil, mark(XS))
a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) → a__u(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X)
a__u(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS))
a__head(cons(N, XS)) → mark(N)
a__tail(cons(N, XS)) → mark(XS)
a__sel(N, XS) → a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS)))
a__take(N, XS) → a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
a__afterNth(N, XS) → a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
mark(natsFrom(X)) → a__natsFrom(mark(X))
mark(fst(X)) → a__fst(mark(X))
mark(snd(X)) → a__snd(mark(X))
mark(splitAt(X1, X2)) → a__splitAt(mark(X1), mark(X2))
mark(u(X1, X3)) → a__u(mark(X1), X3)
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(afterNth(X1, X2)) → a__afterNth(mark(X1), mark(X2))
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
mark(0') → 0'
mark(nil) → nil
a__natsFrom(X) → natsFrom(X)
a__fst(X) → fst(X)
a__snd(X) → snd(X)
a__splitAt(X1, X2) → splitAt(X1, X2)
a__u(X1, X3) → u(X1, X3)
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__afterNth(X1, X2) → afterNth(X1, X2)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
cons :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
mark :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
s :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
pair :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
0' :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
nil :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
hole_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take1_0 :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0 :: Nat → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take

Generator Equations:
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(0) ⇔ 0'
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__natsFrom, a__fst, a__snd, a__splitAt, a__u, a__head, a__tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__natsFrom = mark
a__natsFrom = a__fst
a__natsFrom = a__snd
a__natsFrom = a__splitAt
a__natsFrom = a__u
a__natsFrom = a__head
a__natsFrom = a__tail
mark = a__fst
mark = a__snd
mark = a__splitAt
mark = a__u
mark = a__head
mark = a__tail
a__fst = a__snd
a__fst = a__splitAt
a__fst = a__u
a__fst = a__head
a__fst = a__tail
a__snd = a__splitAt
a__snd = a__u
a__snd = a__head
a__snd = a__tail
a__splitAt = a__u
a__splitAt = a__head
a__splitAt = a__tail
a__u = a__head
a__u = a__tail
a__head = a__tail

(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__natsFrom.

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
a__natsFrom(N) → cons(mark(N), natsFrom(s(N)))
a__fst(pair(XS, YS)) → mark(XS)
a__snd(pair(XS, YS)) → mark(YS)
a__splitAt(0', XS) → pair(nil, mark(XS))
a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) → a__u(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X)
a__u(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS))
a__head(cons(N, XS)) → mark(N)
a__tail(cons(N, XS)) → mark(XS)
a__sel(N, XS) → a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS)))
a__take(N, XS) → a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
a__afterNth(N, XS) → a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
mark(natsFrom(X)) → a__natsFrom(mark(X))
mark(fst(X)) → a__fst(mark(X))
mark(snd(X)) → a__snd(mark(X))
mark(splitAt(X1, X2)) → a__splitAt(mark(X1), mark(X2))
mark(u(X1, X3)) → a__u(mark(X1), X3)
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(afterNth(X1, X2)) → a__afterNth(mark(X1), mark(X2))
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
mark(0') → 0'
mark(nil) → nil
a__natsFrom(X) → natsFrom(X)
a__fst(X) → fst(X)
a__snd(X) → snd(X)
a__splitAt(X1, X2) → splitAt(X1, X2)
a__u(X1, X3) → u(X1, X3)
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__afterNth(X1, X2) → afterNth(X1, X2)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
cons :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
mark :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
s :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
pair :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
0' :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
nil :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
hole_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take1_0 :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0 :: Nat → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take

Generator Equations:
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(0) ⇔ 0'
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__fst, a__snd, a__splitAt, a__u, a__head, a__tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__natsFrom = mark
a__natsFrom = a__fst
a__natsFrom = a__snd
a__natsFrom = a__splitAt
a__natsFrom = a__u
a__natsFrom = a__head
a__natsFrom = a__tail
mark = a__fst
mark = a__snd
mark = a__splitAt
mark = a__u
mark = a__head
mark = a__tail
a__fst = a__snd
a__fst = a__splitAt
a__fst = a__u
a__fst = a__head
a__fst = a__tail
a__snd = a__splitAt
a__snd = a__u
a__snd = a__head
a__snd = a__tail
a__splitAt = a__u
a__splitAt = a__head
a__splitAt = a__tail
a__u = a__head
a__u = a__tail
a__head = a__tail

(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__fst.

(16) Obligation:

TRS:
Rules:
a__natsFrom(N) → cons(mark(N), natsFrom(s(N)))
a__fst(pair(XS, YS)) → mark(XS)
a__snd(pair(XS, YS)) → mark(YS)
a__splitAt(0', XS) → pair(nil, mark(XS))
a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) → a__u(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X)
a__u(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS))
a__head(cons(N, XS)) → mark(N)
a__tail(cons(N, XS)) → mark(XS)
a__sel(N, XS) → a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS)))
a__take(N, XS) → a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
a__afterNth(N, XS) → a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
mark(natsFrom(X)) → a__natsFrom(mark(X))
mark(fst(X)) → a__fst(mark(X))
mark(snd(X)) → a__snd(mark(X))
mark(splitAt(X1, X2)) → a__splitAt(mark(X1), mark(X2))
mark(u(X1, X3)) → a__u(mark(X1), X3)
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(afterNth(X1, X2)) → a__afterNth(mark(X1), mark(X2))
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
mark(0') → 0'
mark(nil) → nil
a__natsFrom(X) → natsFrom(X)
a__fst(X) → fst(X)
a__snd(X) → snd(X)
a__splitAt(X1, X2) → splitAt(X1, X2)
a__u(X1, X3) → u(X1, X3)
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__afterNth(X1, X2) → afterNth(X1, X2)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
cons :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
mark :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
s :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
pair :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
0' :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
nil :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
hole_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take1_0 :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0 :: Nat → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take

Generator Equations:
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(0) ⇔ 0'
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__snd, a__splitAt, a__u, a__head, a__tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__natsFrom = mark
a__natsFrom = a__fst
a__natsFrom = a__snd
a__natsFrom = a__splitAt
a__natsFrom = a__u
a__natsFrom = a__head
a__natsFrom = a__tail
mark = a__fst
mark = a__snd
mark = a__splitAt
mark = a__u
mark = a__head
mark = a__tail
a__fst = a__snd
a__fst = a__splitAt
a__fst = a__u
a__fst = a__head
a__fst = a__tail
a__snd = a__splitAt
a__snd = a__u
a__snd = a__head
a__snd = a__tail
a__splitAt = a__u
a__splitAt = a__head
a__splitAt = a__tail
a__u = a__head
a__u = a__tail
a__head = a__tail

(17) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__snd.

(18) Obligation:

TRS:
Rules:
a__natsFrom(N) → cons(mark(N), natsFrom(s(N)))
a__fst(pair(XS, YS)) → mark(XS)
a__snd(pair(XS, YS)) → mark(YS)
a__splitAt(0', XS) → pair(nil, mark(XS))
a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) → a__u(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X)
a__u(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS))
a__head(cons(N, XS)) → mark(N)
a__tail(cons(N, XS)) → mark(XS)
a__sel(N, XS) → a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS)))
a__take(N, XS) → a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
a__afterNth(N, XS) → a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
mark(natsFrom(X)) → a__natsFrom(mark(X))
mark(fst(X)) → a__fst(mark(X))
mark(snd(X)) → a__snd(mark(X))
mark(splitAt(X1, X2)) → a__splitAt(mark(X1), mark(X2))
mark(u(X1, X3)) → a__u(mark(X1), X3)
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(afterNth(X1, X2)) → a__afterNth(mark(X1), mark(X2))
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
mark(0') → 0'
mark(nil) → nil
a__natsFrom(X) → natsFrom(X)
a__fst(X) → fst(X)
a__snd(X) → snd(X)
a__splitAt(X1, X2) → splitAt(X1, X2)
a__u(X1, X3) → u(X1, X3)
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__afterNth(X1, X2) → afterNth(X1, X2)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
cons :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
mark :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
s :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
pair :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
0' :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
nil :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
hole_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take1_0 :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0 :: Nat → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take

Generator Equations:
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(0) ⇔ 0'
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__splitAt, a__u, a__head, a__tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__natsFrom = mark
a__natsFrom = a__fst
a__natsFrom = a__snd
a__natsFrom = a__splitAt
a__natsFrom = a__u
a__natsFrom = a__head
a__natsFrom = a__tail
mark = a__fst
mark = a__snd
mark = a__splitAt
mark = a__u
mark = a__head
mark = a__tail
a__fst = a__snd
a__fst = a__splitAt
a__fst = a__u
a__fst = a__head
a__fst = a__tail
a__snd = a__splitAt
a__snd = a__u
a__snd = a__head
a__snd = a__tail
a__splitAt = a__u
a__splitAt = a__head
a__splitAt = a__tail
a__u = a__head
a__u = a__tail
a__head = a__tail

(19) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__splitAt.

(20) Obligation:

TRS:
Rules:
a__natsFrom(N) → cons(mark(N), natsFrom(s(N)))
a__fst(pair(XS, YS)) → mark(XS)
a__snd(pair(XS, YS)) → mark(YS)
a__splitAt(0', XS) → pair(nil, mark(XS))
a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) → a__u(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X)
a__u(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS))
a__head(cons(N, XS)) → mark(N)
a__tail(cons(N, XS)) → mark(XS)
a__sel(N, XS) → a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS)))
a__take(N, XS) → a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
a__afterNth(N, XS) → a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
mark(natsFrom(X)) → a__natsFrom(mark(X))
mark(fst(X)) → a__fst(mark(X))
mark(snd(X)) → a__snd(mark(X))
mark(splitAt(X1, X2)) → a__splitAt(mark(X1), mark(X2))
mark(u(X1, X3)) → a__u(mark(X1), X3)
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(afterNth(X1, X2)) → a__afterNth(mark(X1), mark(X2))
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
mark(0') → 0'
mark(nil) → nil
a__natsFrom(X) → natsFrom(X)
a__fst(X) → fst(X)
a__snd(X) → snd(X)
a__splitAt(X1, X2) → splitAt(X1, X2)
a__u(X1, X3) → u(X1, X3)
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__afterNth(X1, X2) → afterNth(X1, X2)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
cons :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
mark :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
s :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
pair :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
0' :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
nil :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
hole_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take1_0 :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0 :: Nat → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take

Generator Equations:
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(0) ⇔ 0'
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__u, a__head, a__tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__natsFrom = mark
a__natsFrom = a__fst
a__natsFrom = a__snd
a__natsFrom = a__splitAt
a__natsFrom = a__u
a__natsFrom = a__head
a__natsFrom = a__tail
mark = a__fst
mark = a__snd
mark = a__splitAt
mark = a__u
mark = a__head
mark = a__tail
a__fst = a__snd
a__fst = a__splitAt
a__fst = a__u
a__fst = a__head
a__fst = a__tail
a__snd = a__splitAt
a__snd = a__u
a__snd = a__head
a__snd = a__tail
a__splitAt = a__u
a__splitAt = a__head
a__splitAt = a__tail
a__u = a__head
a__u = a__tail
a__head = a__tail

(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__u.

(22) Obligation:

TRS:
Rules:
a__natsFrom(N) → cons(mark(N), natsFrom(s(N)))
a__fst(pair(XS, YS)) → mark(XS)
a__snd(pair(XS, YS)) → mark(YS)
a__splitAt(0', XS) → pair(nil, mark(XS))
a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) → a__u(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X)
a__u(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS))
a__head(cons(N, XS)) → mark(N)
a__tail(cons(N, XS)) → mark(XS)
a__sel(N, XS) → a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS)))
a__take(N, XS) → a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
a__afterNth(N, XS) → a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
mark(natsFrom(X)) → a__natsFrom(mark(X))
mark(fst(X)) → a__fst(mark(X))
mark(snd(X)) → a__snd(mark(X))
mark(splitAt(X1, X2)) → a__splitAt(mark(X1), mark(X2))
mark(u(X1, X3)) → a__u(mark(X1), X3)
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(afterNth(X1, X2)) → a__afterNth(mark(X1), mark(X2))
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
mark(0') → 0'
mark(nil) → nil
a__natsFrom(X) → natsFrom(X)
a__fst(X) → fst(X)
a__snd(X) → snd(X)
a__splitAt(X1, X2) → splitAt(X1, X2)
a__u(X1, X3) → u(X1, X3)
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__afterNth(X1, X2) → afterNth(X1, X2)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
cons :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
mark :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
s :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
pair :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
0' :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
nil :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
hole_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take1_0 :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0 :: Nat → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take

Generator Equations:
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(0) ⇔ 0'
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__head, a__tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__natsFrom = mark
a__natsFrom = a__fst
a__natsFrom = a__snd
a__natsFrom = a__splitAt
a__natsFrom = a__u
a__natsFrom = a__head
a__natsFrom = a__tail
mark = a__fst
mark = a__snd
mark = a__splitAt
mark = a__u
mark = a__head
mark = a__tail
a__fst = a__snd
a__fst = a__splitAt
a__fst = a__u
a__fst = a__head
a__fst = a__tail
a__snd = a__splitAt
a__snd = a__u
a__snd = a__head
a__snd = a__tail
a__splitAt = a__u
a__splitAt = a__head
a__splitAt = a__tail
a__u = a__head
a__u = a__tail
a__head = a__tail

(23) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__head.

(24) Obligation:

TRS:
Rules:
a__natsFrom(N) → cons(mark(N), natsFrom(s(N)))
a__fst(pair(XS, YS)) → mark(XS)
a__snd(pair(XS, YS)) → mark(YS)
a__splitAt(0', XS) → pair(nil, mark(XS))
a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) → a__u(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X)
a__u(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS))
a__head(cons(N, XS)) → mark(N)
a__tail(cons(N, XS)) → mark(XS)
a__sel(N, XS) → a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS)))
a__take(N, XS) → a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
a__afterNth(N, XS) → a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
mark(natsFrom(X)) → a__natsFrom(mark(X))
mark(fst(X)) → a__fst(mark(X))
mark(snd(X)) → a__snd(mark(X))
mark(splitAt(X1, X2)) → a__splitAt(mark(X1), mark(X2))
mark(u(X1, X3)) → a__u(mark(X1), X3)
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(afterNth(X1, X2)) → a__afterNth(mark(X1), mark(X2))
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
mark(0') → 0'
mark(nil) → nil
a__natsFrom(X) → natsFrom(X)
a__fst(X) → fst(X)
a__snd(X) → snd(X)
a__splitAt(X1, X2) → splitAt(X1, X2)
a__u(X1, X3) → u(X1, X3)
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__afterNth(X1, X2) → afterNth(X1, X2)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
cons :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
mark :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
s :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
pair :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
0' :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
nil :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
hole_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take1_0 :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0 :: Nat → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take

Generator Equations:
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(0) ⇔ 0'
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__natsFrom = mark
a__natsFrom = a__fst
a__natsFrom = a__snd
a__natsFrom = a__splitAt
a__natsFrom = a__u
a__natsFrom = a__head
a__natsFrom = a__tail
mark = a__fst
mark = a__snd
mark = a__splitAt
mark = a__u
mark = a__head
mark = a__tail
a__fst = a__snd
a__fst = a__splitAt
a__fst = a__u
a__fst = a__head
a__fst = a__tail
a__snd = a__splitAt
a__snd = a__u
a__snd = a__head
a__snd = a__tail
a__splitAt = a__u
a__splitAt = a__head
a__splitAt = a__tail
a__u = a__head
a__u = a__tail
a__head = a__tail

(25) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__tail.

(26) Obligation:

TRS:
Rules:
a__natsFrom(N) → cons(mark(N), natsFrom(s(N)))
a__fst(pair(XS, YS)) → mark(XS)
a__snd(pair(XS, YS)) → mark(YS)
a__splitAt(0', XS) → pair(nil, mark(XS))
a__splitAt(s(N), cons(X, XS)) → a__u(a__splitAt(mark(N), mark(XS)), X)
a__u(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(mark(X), YS), mark(ZS))
a__head(cons(N, XS)) → mark(N)
a__tail(cons(N, XS)) → mark(XS)
a__sel(N, XS) → a__head(a__afterNth(mark(N), mark(XS)))
a__take(N, XS) → a__fst(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
a__afterNth(N, XS) → a__snd(a__splitAt(mark(N), mark(XS)))
mark(natsFrom(X)) → a__natsFrom(mark(X))
mark(fst(X)) → a__fst(mark(X))
mark(snd(X)) → a__snd(mark(X))
mark(splitAt(X1, X2)) → a__splitAt(mark(X1), mark(X2))
mark(u(X1, X3)) → a__u(mark(X1), X3)
mark(head(X)) → a__head(mark(X))
mark(tail(X)) → a__tail(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(afterNth(X1, X2)) → a__afterNth(mark(X1), mark(X2))
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(pair(X1, X2)) → pair(mark(X1), mark(X2))
mark(0') → 0'
mark(nil) → nil
a__natsFrom(X) → natsFrom(X)
a__fst(X) → fst(X)
a__snd(X) → snd(X)
a__splitAt(X1, X2) → splitAt(X1, X2)
a__u(X1, X3) → u(X1, X3)
a__head(X) → head(X)
a__tail(X) → tail(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__afterNth(X1, X2) → afterNth(X1, X2)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)

Types:
a__natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
cons :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
mark :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
natsFrom :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
s :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
pair :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
0' :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
nil :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
a__take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
fst :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
snd :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
splitAt :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
u :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
head :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
tail :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
sel :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
afterNth :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
take :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
hole_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take1_0 :: s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0 :: Nat → s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take

Generator Equations:
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(0) ⇔ 0'
gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_s:natsFrom:cons:pair:0':nil:fst:snd:splitAt:u:head:tail:sel:afterNth:take2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.